VENTAJAS DE LA FFT

VENTAJAS DE LA FFT

La transformada discreta de Fourier (DFT se ve descrita en la siguiente formula):

La evaluación directa de esa fórmula requiere O(n²) operaciones aritméticas. Mediante un algoritmo FFT se puede obtener el mismo resultado con sólo O(n log n) operaciones. En general, dichos algoritmos dependen de la factorización de n pero, al contrario de lo que frecuentemente se cree, existen FFTs para cualquier n, incluso con n primo.

con lo anterior dicho es fácil llegar a la conclusión de que la transformada rápida de fourier es muy efectiva en cuanto al tiempo de desarrollo, es decir, el numero de operaciones disminuye en gran magnitud, comparándolo con el numero de operaciones necesaria para la realización de la DFT, a medida que aumenta n. Este menor numero de operaciones nos permite también afirmar que computacionalmente esta transformada es un gran logro, debido a que el espacio requerido para su procesamiento es mucho menor que el necesario para la implementacion de la DFT.

lo siguiente lo podríamos visualizar fácilmente en la siguiente tabla, en la cual se muestra el numero de operaciones a realizar en los dos tipos de transformadas tratadas en el blog.

Muestras de una señal(n)	# de Operaciones dft	# de Operaciones fft
10	100	33.219
100	10000	664.386
1000	1000000	9965.784
10000	100000000	132877.124
100000	10000000000	1660964.047

Me baso en esta imagen que está rondando por las redes sociales y que realmente me llamó la atención. Como se muestra en el mensaje, los colombianos ya podemos ir a Europa con facilidad, ya la visa a Estados Unidos prácticamente viene en una caja de cereales y la seguridad social a mejorado notablemente en los últimos 10 años; pero, ¿de que nos sirve toda esta fachada internacional si nosotros los jóvenes colombianos, según los resultados de la prueba Pisa, prácticamente no sabemos ni coger un bus?.

Es realmente triste ver que Colombia ocupe el ultimo lugar de esta importante prueba cognitiva internacional, y mas aun sabiendo que trata con preguntas que se supone deben ser de lógica común, preguntas que miden la habilidad de los estudiantes para desenvolverse en la vida. Me gusta bastante el titulo que tiene el articulo publicado en el Espectador, debido a que hasta el momento de ver los resultados de la prueba Pisa, era uno de los que creía que los Colombianos eramos unos "verracos" y que encontrábamos la soluciones mas ingeniosas ante cualquier adversidad, es mas, aun lo creo, pero los resultados de la evaluación demuestra lo contrario, sin embargo no conozco con claridad los parámetros de evaluación como para justificar de algún modo las pésimas calificaciones obtenidas. Ya que se hace mención a la palabra justificación, es totalmente ridículo, los como diría mi mama: "consuelo de bobos", que dio la ministra de educación junto con el presidente de la república, hablando ante los medios como típico jugador de fútbol argentino (sin ofender) diciendo: "che pues se hizo lo que se pudo, al menos se intento", en vez de sentirse apenados y buscar inmediatamente soluciones al problema, soluciones que son a largo plazo pero que es necesario implementarlas desde ahora.

Causalidad de un sistema

CAUSALIDAD DE UN SISTEMA

En terminos generales se podria decir que Un sistema causal es aquel que es no-anticipativo; esto es, que las salidas dependen de entradas presentes y pasadas, pero no de entradas futuras. Todos los sistemas en “tiempo real” deben ser causales, ya que no pueden tener salidas futuras disponibles para ellos.

A continuación se muestra unos ejemplos de sistemas causales y no causales

Ahora sobre la pregunta de si en un sistema causal pude h(t) tener valores distintos de 0 para tiempos menores de 0 podríamos decir resumidamente que  la causalidad para un sistema lineal es equivalente a la

condición de "reposo inicial", es decir, si la entrada a un sistema causal es 0 hasta algún
punto en el tiempo, entonces la salida también debe de ser 0 hasta ese tiempo.

En concreto, para que un sistema LTI discreto sea causal, y[n] no debe depender de x[k] para k mayores que n.

Tenemos que para que lo anterior sea cierto, los coeficientes h[n-k] que multiplican a x[k] para k>n deben ser cero, por tanto h[n]=0 para n<0.

Despues de lo explicado anteriormente:

No es posible que h[t] tome valores distintos de 0 para tiempos menores a 0.

Función Impulso Unitario

FUNCIÓN DE IMPULSO

La respuesta sobre si esta expresión,   , es verdadera o falsa es :

verdadero

Para dar su demostración es primero definir un  termino que creo que la mayoría no conocía, este es el de La Delta de Dirac:

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac, en tanto que distribución define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones.

Los sistemas mecánicos trabajan muchas veces bajo una fuerza externa de magnitud mayor que actúa sólo durante un periodo muy corto. Por ejemplo, un relámpago puede hacer vibrar el ala de un avión, o una masa sujeta a un resorte puede recibir un fuerte impacto con la cabeza de un martillo, una pelota puede lanzarse hacia las alturas por un golpe violento dado con algún tipo de palo. Por tanto estos fenómenos se comportan de la manera que en un intervalo mínimo de tiempo experimentan fuerzas muy grandes y a su vez esta fuerza se disipa instantáneamente.

Diagrama esquemático de la función delta de dirac.

Ahora que ya sabemos su definición si podemos proceder a demostrar el por qué es verdadera la expresión mencionada al comienzo de este Blog.

Como primero, para comprender los resultado que nos arroja esta función, es necesario analizar lo que se sucede cuando se multiplica por otra función :

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

Tal como se observa en el diagrama esquemático de la funcion delta dirac, esta función es cero en todas partes excepto en el origen, así que básicamente estamos eliminando el valor de la función de multiplicación al evaluarla en cero. 

A primera vista esto no parece tener mayor importancia, porque ya sabemos que el impulso evaluado en cero es infinito, y todo lo multiplicado por infinito da un resultado infinito. Pero, ¿qué pasa si integramos el resultado de la multiplicación?. Para esto nos basamos en la propiedad de desplazamiento:

∫∞−∞f(t)δ(t)dt=

∫∞−∞f(0)δ(t)dtf(0)∫∞−∞δ(t)dtf(0)

Finalmente lo que obtuvimos es una simple función evaluada en cero. Si hubiéramos usado δ(t−T) en vez de δ(t), podríamos haber desplazado f(T). A esto es lo que llamaremos la propiedad de desplazamiento de la función de Dirac, el cual se usa frecuentemente para definir el impulso unitario.

Esta propiedad es muy útil al momento de desarrollar la idea de convolución la cual es una de los fundamentos principales para el procesamiento de señales. Al usar convolución y esta propiedad podemos representar una aproximación a cualquier resultado de un sistema si se conoce la respuesta al impulso del sistema y su señal de entrada. 

Bibliografía:

• http://cnx.org/content/m12824/latest/
• http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funci%C3%B3n_Delta_de_Dirac