Causalidad de un sistema

CAUSALIDAD DE UN SISTEMA

En terminos generales se podria decir que Un sistema causal es aquel que es no-anticipativo; esto es, que las salidas dependen de entradas presentes y pasadas, pero no de entradas futuras. Todos los sistemas en “tiempo real” deben ser causales, ya que no pueden tener salidas futuras disponibles para ellos.

A continuación se muestra unos ejemplos de sistemas causales y no causales

Ahora sobre la pregunta de si en un sistema causal pude h(t) tener valores distintos de 0 para tiempos menores de 0 podríamos decir resumidamente que  la causalidad para un sistema lineal es equivalente a la

condición de "reposo inicial", es decir, si la entrada a un sistema causal es 0 hasta algún
punto en el tiempo, entonces la salida también debe de ser 0 hasta ese tiempo.

En concreto, para que un sistema LTI discreto sea causal, y[n] no debe depender de x[k] para k mayores que n.

Tenemos que para que lo anterior sea cierto, los coeficientes h[n-k] que multiplican a x[k] para k>n deben ser cero, por tanto h[n]=0 para n<0.

Despues de lo explicado anteriormente:

No es posible que h[t] tome valores distintos de 0 para tiempos menores a 0.

Función Impulso Unitario

FUNCIÓN DE IMPULSO

La respuesta sobre si esta expresión,   , es verdadera o falsa es :

verdadero

Para dar su demostración es primero definir un  termino que creo que la mayoría no conocía, este es el de La Delta de Dirac:

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac, en tanto que distribución define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones.

Los sistemas mecánicos trabajan muchas veces bajo una fuerza externa de magnitud mayor que actúa sólo durante un periodo muy corto. Por ejemplo, un relámpago puede hacer vibrar el ala de un avión, o una masa sujeta a un resorte puede recibir un fuerte impacto con la cabeza de un martillo, una pelota puede lanzarse hacia las alturas por un golpe violento dado con algún tipo de palo. Por tanto estos fenómenos se comportan de la manera que en un intervalo mínimo de tiempo experimentan fuerzas muy grandes y a su vez esta fuerza se disipa instantáneamente.

Diagrama esquemático de la función delta de dirac.

Ahora que ya sabemos su definición si podemos proceder a demostrar el por qué es verdadera la expresión mencionada al comienzo de este Blog.

Como primero, para comprender los resultado que nos arroja esta función, es necesario analizar lo que se sucede cuando se multiplica por otra función :

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)

Tal como se observa en el diagrama esquemático de la funcion delta dirac, esta función es cero en todas partes excepto en el origen, así que básicamente estamos eliminando el valor de la función de multiplicación al evaluarla en cero. 

A primera vista esto no parece tener mayor importancia, porque ya sabemos que el impulso evaluado en cero es infinito, y todo lo multiplicado por infinito da un resultado infinito. Pero, ¿qué pasa si integramos el resultado de la multiplicación?. Para esto nos basamos en la propiedad de desplazamiento:

∫∞−∞f(t)δ(t)dt=

∫∞−∞f(0)δ(t)dtf(0)∫∞−∞δ(t)dtf(0)

Finalmente lo que obtuvimos es una simple función evaluada en cero. Si hubiéramos usado δ(t−T) en vez de δ(t), podríamos haber desplazado f(T). A esto es lo que llamaremos la propiedad de desplazamiento de la función de Dirac, el cual se usa frecuentemente para definir el impulso unitario.

Esta propiedad es muy útil al momento de desarrollar la idea de convolución la cual es una de los fundamentos principales para el procesamiento de señales. Al usar convolución y esta propiedad podemos representar una aproximación a cualquier resultado de un sistema si se conoce la respuesta al impulso del sistema y su señal de entrada. 

Bibliografía:

• http://cnx.org/content/m12824/latest/
• http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funci%C3%B3n_Delta_de_Dirac